Question

（本題滿分12分）已知函數是奇函數（且）．

①求實數的值；

②判斷在區間上的單調性，并加以證明；

③當且時，的值域是，求實數與的值．

Answer 1

①；②；當時，在上是減函數；當時，在上是增函數；③.

【解析】

試題分析：本題以復合對數函數為載體，綜合考查對數函數的性質，函數的單調性，函數的奇偶性，對考生數學式子變形能力要求較高.(1)由為奇函數，根據可以求出；（2）證明函數的單調性要利用定義：任意取值—作差—變形—定號下結論，在作差變形后得到的時對數式，再作差比較真數和1的大小，由于不確定，還需要分兩種情況討論函數的單調性；（3）函數的定義域為，所以，由題意，所以，又時，解得，由（2）知函數在上為減函數，要滿足的值域是，需要時,，所以即.

試題解析：（1）因為是奇函數，即，

所以對定義域內的一切都成立，所以，

又當時，無意義，故

由（1）得，，任意取且，

則.

由于

因為，所以，

所以

所以當時 ，；當時，.

綜上所述：當時，在上是減函數；

當時，在上是增函數

（3）由得中.又得

令，則,解得.所以.

當時,,此時在上是減函數，

所以當時,.由題意知,.

綜上所述

考點：1.對數函數的性質；2.函數的單調性