Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n （2n-1），（n∈N*）
（1）證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）設數(shù)列{b_n} 滿足b_n=S1+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

（n∈N*），試判定：是否存在自然數(shù)n，使得b_n=900，若存在，求出n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由關(guān)系式a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求出a_n，注意驗證當n=1時是否成立，再由等差數(shù)列的定義進行判斷；
（2）由（1）的結(jié)果先求出通項公式

Sn

n

，再求出b_n，再代入b_n=900進行求解說明即可．

解答：解：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n（2n-1）-（n-1）（2n-3）=4n-3，
當n=1時，a₁=S₁=1，適合．∴a_n=4n-3，
∵a_n-a_n-1=4（n≥2），∴a_n為等差數(shù)列．
（2）由題意知，

Sn

n

=2n-1，
∴b_n=S1+

S2

2

+

S3

3

++

Sn

n

=1+3+5+7++(2n-1)=n2，
由n²=900，得n=30，即存在滿足條件的自然數(shù)，且n=30．

點評：本小題主要考查等差數(shù)列及數(shù)列求和等基礎知識，以及數(shù)列的前n項和與通項公式的關(guān)系式，需要先求數(shù)列的通項公式，再求數(shù)列的前n項和，考查運算求解能力．