Question

【題目】已知橢圓的焦距為,其上下頂點(diǎn)分別為,點(diǎn).

（1）求橢圓的方程以及離心率；

（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為,過點(diǎn)的任意作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率依次成等差數(shù)列，探究之間是否存在某種數(shù)量關(guān)系，若是請給出的關(guān)系式，并證明；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；(2).

【解析】

試題分析：（1）依題意，，求出的值，即可得到橢圓的方程；（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時，將直線與橢圓方程聯(lián)立，求得的坐標(biāo)，利用，可得滿足的關(guān)系式；②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程代入整理化簡，利用韋達(dá)定理及，可得的值從而可得滿足的關(guān)系式.

試題解析：（1）.又， 則橢圓方程為：.

（2）取，則

則滿足：.設(shè)直線，且，

，

，

而：，故滿足：.

考點(diǎn):橢圓的集合性質(zhì)；直線和橢圓的位置關(guān)系.