Question

【題目】如圖所示，已知圓的圓心在直線(xiàn)上，且該圓存在兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，又圓與直線(xiàn)相切，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，直線(xiàn)與相交于點(diǎn)．

（1）求圓的方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)的方程；

（3）是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)或；(3)是，.

【解析】

試題分析：(1)借助題設(shè)條件構(gòu)建方程組求解；(2)借助題設(shè)建立方程組求解；(3)運(yùn)用向量的坐標(biāo)形式的運(yùn)算推證求解.

試題解析：

（1）由圓存在兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)知圓心在直線(xiàn)上，

由得．

設(shè)圓的半徑為，因?yàn)閳A與直線(xiàn)相切，

所以．

所以圓的方程為．

（2）當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，易知符合題意．．

當(dāng)直線(xiàn)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，

即連接，則，

∵，∴，

由，得

∴直線(xiàn)的方程為．

∴所求直線(xiàn)的方程為或．

（3）∵，∴，

∴，

當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，得，則，又，

∴

當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，

由，解得，∴，

∴

綜上所述，是定值，且為-10．