Question

16、定義在R上的函數(shù)f（x），對任意實數(shù)x∈R，都有f（x+1）=f（x）+1成立，且f（1）=2，記a_n=f（n）（n∈N^*），則a₂₀₁₀=

2011

．

Answer 1

分析：先由a_n=f（n）（n∈N^*），f（x+1）=f（x）+1知道數(shù)列{a_n}的遞推關系，又由f（1）=2，可以判斷數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
通過等差數(shù)列的定義，求出其通項公式，從而求得a₂₀₁₀的值．

解答：解：∵a_n=f（n），f（x+1）=f（x）+1
∴a_n+1=a_n+1，又知a₁=f（1）=2，所以有等差數(shù)列的定義，
可知數(shù)列{a_n}是以首項為2，公差為1的等差數(shù)列．
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1，
∴a₂₀₁₀=2011．
故答案為 2011．

點評：此題考查函數(shù)與數(shù)列的關系，及等差數(shù)列的定義．