Question

20．在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是A₁D₁的中點，點P在側面 BCC₁B₁上運動．現有下列命題：
①若點P總保持PA⊥BD₁，則動點P的軌跡所在的曲線是直線；
②若點P到點A的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，則動點P的軌跡所在的曲線是圓；
③若P滿足∠MAP=∠MAC₁，則動點P的軌跡所在的曲線是橢圓；
④若P到直線BC與直線C₁D₁的距離比為2：1，則動點P的軌跡所在的曲線是雙曲線；
⑤若P到直線AD與直線CC₁的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是拋物線．
其中真命題的個數為（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由BD₁⊥面AB₁C，可得P在面AB₁C和面BCC₁B₁的交線上判斷①正確；由平面截球面軌跡是圓判斷②正確；利用平面截圓錐側面可得P點軌跡所在曲線是雙曲線的一支，說明③錯誤；由橢圓定義說明④不正確；建立空間坐標系，由|PF|=|PG|列式求出動點P的軌跡說明⑤錯誤．

解答 解：對于①，∵BD₁⊥面AB₁C，∴動點P的軌跡所在曲線是直線B₁C，①正確；
對于②，滿足到點A的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$的點集是球，∴點P應為平面截球體所得截痕，即軌跡所在曲線為圓，②正確；
對于③，滿足條件∠MAP=∠MAC₁ 的點P應為以AM為軸，以AC₁ 為母線的圓錐，平面BB₁C₁C是一個與軸AM平行的平面，
又點P在BB₁C₁C所在的平面上，故P點軌跡所在曲線是雙曲線一支，
③錯誤；
對于④，P到直線C₁D₁ 的距離，
即到點C₁的距離與到直線BC的距離比為1：2，
∴動點P的軌跡所在曲線是以C₁ 為焦點，以直線BC為準線的橢圓，④不正確；
對于⑤，如圖建立空間直角坐標系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC₁，連接PF，
設點P坐標為（x，y，0），由|PF|=|PG|，得$\sqrt{1+{y}^{2}}$=|x|，即x²-y²=1，
∴P點軌跡所在曲線是雙曲線，⑤錯誤．
故選C．

點評 本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了圓錐曲線的定義和方程，考查了學生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．