Question

已知實數集R上的函數f(x)=ax³+bx²+cx+d其中a、b、c、d是實數.

（1）若函數f(x)在區間(-∞,-1)和(3,+∞)上都是增函數，在區間（-1，3）上是減函數，并且f(0)=-7,f′(0)=-18，求函數f(x)的表達式；

（2）若a、b、c滿足b²-3ac＜0,求證：函數f(x)是單調函數.

Answer 1

解：（1）∵f(0)=-7,∴d=-7,

f′(x)=3ax²+2bx+c,f′(0)=-18,∴c=-18，

∴f′(x)=3ax²+2bx-18.

∵函數f(x)在區間(-∞,-1)和(3,+∞)上都是增函數，在區間（-1，3）上是減函數，

∴-1和3必是f′(x)=0的兩個根.

∴解得

∴f(x)=2x³-6x²-18x-7.

（2）f′(x)=3ax²+2bx+c,由條件b²-3ac＜0,可知a≠0,c≠0,

f′(x)為二次三項式，并且Δ=(2b)²-4(3ac)=4(b²-3ac)＜0,

∴當a＞0時，f′(x)＞0恒成立，此時函數f(x)是單調增函數;

當a＜0時，f′(x)＜0恒成立，此時函數f(x)是單調減函數，

∴對任意給定的非零實數a，函數f(x)總是單調函數.