Question

已知定義在實數集R上的函數f（x）=ax³+bx²+cx+d，其中a，b，c，d是實數．
（1）若函數f（x）在區間（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函數，在區間（-1，3）上是減函數，并且f（0）=-7，f′（0）=-18，求函數f（x）的表達式；
（2）若a，b，c滿足b²-3ac＜0，求證：函數f（x）是單調函數．

Answer 1

分析：（1）因為函數f（x）在區間（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函數，在區間（-1，3）上是減函數，則導數在區間（-∞，-1）和（3，+∞）上都大于零，在區間（-1，3）上小于零，可知，-1和3對應的導數值為0，再由f′（0）=-18，可求得導函數，再利用導函數與原函數間的關系，表示出原函數，再由f（0）=-7求解．
（2）若函數f（x）是單調函數，則導函數對應的方程無根即可，所以下面就轉化為導數是恒大于零還是恒小于零問題求解．

解答：解（1）f′（x）=3ax²+2bx+c．
由f'（0）=-18得c=-18，即f′（x）=3ax²+2bx-18．（3分）
又由于f（x）在區間（-∞，-1）和（3，+∞）上是增函數，在區間（-1，3）上是減函數，
所以-1和3必是f′（x）=0的兩個根．
從而

3a-2b-18=0 27a+6b-18=0.

解得

a=2 b=-6.

（5分）
又根據f（0）=-7，所以f（x）=2x³-6x²-18x-7（7分）
（2）f′（x）=3ax²+2bx+c由條件b²-3ac＜0可知a≠0，c≠0．（9分）
因為f'（x）為二次三項式，
并且△=（2b）²-4（3ac）=4（b²-3ac）＜0，
所以，當a＞0時，f'（x）＞0恒成立，此時函數f（x）是單調遞增函數；
當a＜0時，f'（x）＜0恒成立，此時函數f（x）是單調遞減函數．
因此，對任意給定的實數a，函數f（x）總是單調函數．（12分）

點評：本題主要考查函數的單調性與導數正負間的關系，當導數大于零時，函數為增函數，當導數小于零時，函數為減函數．