Question

已知定義在正實數集R上的函數y=f（x）滿足：①對任意a，b∈R都有f（a•b）=f（a）+f（b）②當x＞1時，f（x）＜0   ③f（3）=-1
（1）求f（1）的值
（2）證明函數y=f（x）在R上為單調減函數
（3）若集合A={（p，q）|f（p²+1）-f（5q）-2＞0，p，q∈R+}，集合B={（p，q）|f（

p

q

）+

1

2

=0，p，q∈R₊}，問是否存在p，q，使A∩B≠∅，若存在，求出p，q的值，不存在則說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接令a=1，b=1代入f（a•b）=f（a）+f（b）即可得到結論；
（2）先根據f（a•b）=f（a）+f（b）得到f（x）=-f（

1

x

）；再結合x＞1時，f（x）＜0以及單調性的定義即可得到答案；
（3）先分別利用f（3）=-1把兩個集合進行轉化，再結合一元二次不等式的解法即可得出結論．

解答：解：（1）令a=1，b=1，∵f（a•b）=f（a）+f（b）；
∴f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0
（2）證明，設a，b為任意正實數，且0＜a＜b，
∴

b

a

＞1．
∴f（

b

a

）=f（b）+f（

1

a

），
∵f（1）=f（x）+f（

1

x

）=0
∴f（x）=-f（

1

x

）；
∴f（

b

a

）=f（b）+f（

1

a

）=f（b）-f（a）＜0；
即f（b）＜f（a）；
故函數y=f（x）在R上為單調減函數．
（3）解∵f（p²+1）-f（5q）-2＞0，由（2）知f（x）=-f（

1

x

）；
∴f（p²+1）+f（

1

5q

）＞2；
∴f（

p2+1

5q

）＞2；
又f（3）=-1，
∴f（

1

3

）=1
∴f（9）=-2；
∴f（

1

9

）=2；
∴f（

p2+1

5q

）＞2=f（

1

9

）；
∴

p2+1

5q

＜

1

9

     ①
又∵f（

p

q

）+

1

2

=0；
∴f（

p

q

）+

1

2

f（

1

3

）=0；
f（

p

q

）+f（

1

3

）=0；
∴

p

3 q

=1，p=

3

q；     ②
由①②整理得：27q²-5q+9＜0不成立，
∴不存在p，q，使A∩B≠∅．

點評：本題考點是抽象函數及其應用，考查用賦值法求函數值，以及靈活利用所給的恒等式證明函數的單調性，此類題要求答題者有較高的數學思辨能力，屬于較高難度的題目．