Question

已知函數f(x)=

1

2

ax2+(1-a)x+ln

1

x

．其中a＞-1．
（Ⅰ）若f（x）有兩個極值點，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）當-1＜a≤2時，討論函數f（x）的零點個數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函數的導函數f′(x)=

(x-1)(ax+1)

x

，f（x）有兩個極值點等價于方程f′（x）=0在（0，+∞）上有兩個不等的實根，直接由方程f′（x）=0有兩個不等的正根列式求解a的取值范圍；
（Ⅱ）分-1＜a＜0和a≥0兩種情況討論，當-1＜a＜0時，由導函數求出原函數的單調區間，得到f（x）在（0，1）、(-

1

a

，+∞)上遞減，在(1，-

1

a

)上遞增，求出極小值f（1）＞0，而取x=-

4

a

時函數值小于0，從而說明f（x）的圖象與x軸有且僅有一個交點；當a≥0時，求得函數的最小值為f（1），根據a與x的范圍分析最小值的符號，從而得到f（x）的圖象與x軸交點的情況．

解答：解：（Ⅰ）由f(x)=

1

2

ax2+(1-a)x+ln

1

x

，得
f′(x)=ax+(1-a)-

1

x

=

ax2+(1-a)x-1

x

=

(x-1)(ax+1)

x

，x＞0．
f（x）有兩個極值點等價于方程f′（x）=0在（0，+∞）上有兩個不等的實根，
等價于

a＞-1 a≠0 - 1 a ＞0 - 1 a ≠1

，解得-1＜a＜0．
∴實數a的取值范圍是（-1，0）；
（Ⅱ）（1）當-1＜a＜0時，-

1

a

＞1，f′(x)=

a(x-1)(x+ 1 a )

x

，x＞0，
由

x＞0 f′(x)＜0

得，

x＞0 (x-1)(x+ 1 a )＞0

，解得0＜x＜1或x＞-

1

a

，
由

x＞0 f′(x)＞0

得，

x＞0 (x-1)(x+ 1 a )＜0

，解得1＜x＜-

1

a

，
從而f（x）在（0，1）、(-

1

a

，+∞)上遞減，在(1，-

1

a

)上遞增．
f(x)極小值=f(1)=1-

1

2

a＞1＞0．
而f(-

4

a

)=4+

4

a

-ln(-

4

a

)=

4(a+1)

a

-ln(-

4

a

)，
∵-1＜a＜0，∴

a+1

a

＜0，又-

4

a

＞4，∴ln(-

4

a

)＞0，從而f(-

4

a

)＜0．
又f（x）的圖象連續不斷，故當-1＜a＜0時，f（x）的圖象與x軸有且僅有一個交點．
（2）當a≥0時，∵x＞0，∴ax+1＞0，則當0＜x＜1時，f′（x）＜0；
當x＞1時，f′（x）＞0．
從而f（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，f(x)min=f(1)=1-

1

2

a．
①若0≤a＜2，則f（x）_min＞0，此時f（x）的圖象與x軸無交點．
②若a=2，則f（x）_min=0，f（x）的圖象與x軸有且僅有一個交點．
綜上可知，當-1＜a＜0或a=2時，函數f（x）有且僅有一個零點；
當0≤a＜2時，函數f（x）無零點．

點評：本題考查了利用導數判斷函數的單調性，考查了函數的極值的求法，考查了數學轉化思想方法和分類討論的數學思想方法，訓練了利用函數的極值或最值分析函數的零點問題，是有一定難度題目．