Question

【題目】已知橢圓過點，且離心率為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若點與點均在橢圓上，且關于原點對稱，問：橢圓上是否存在點（點在一象限），使得為等邊三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，．

【解析】

試題分析：（1）根據已知條件，列出不等式組，求解，即可求解橢圓的橢圓的方程；（2）設直線的斜率為，則直線，代入橢圓的方程，解得點的坐標，同理可得直線的方程，代入求解所以，即可求解點的坐標．

試題解析：（1）由題意，解得，

所以橢圓的標準方程為．

（2）由題意知直線經過坐標原點，假設存在符合條件的點，則直線的斜率存在且大于零， ①

設直線的斜率為，則直線，

聯立方程組，得，

所以 ②

同理可得直線的方程為 ③

將②③代入①式得，

化簡得，所以

所以，

綜上所述，存在符合條件的點