【題目】已知函數
（
）.
（1）當
時，討論函數
的單調性；
（2）設
，當
時，若對任意
，存在
，使
，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）當
時，增區間為
，減區間為
；當
時，增區間為
，減區間為和
；當
時，減區間為
；（2）
．
【解析】
試題分析：（1）首先求得函數
的定義域與導函數，然后分、、求得函數的單調區間；（2）首先結合（1）求得當
時
的最小值，然后利用分離參數法得
，由此令
，從而根據
的單調性求得其最小值，進而求得
的取值范圍．
試題解析：（1）
的定義域為
，
當
時，由
，∴
的單調增區間為
由
，∴的單調減區間為，
當
時，由，∴的單調增區間為，
由，∴的單調減區間為，
當
時，由
，∴的單調增區間為
，
由和，∴的單調減區間為和.
當
時，
，∴的單調減區間為，
綜上所述當時，的單調增區間為，單調減區間為.
當時，的單調增區間為，單調減區間為和，
當時，的單調減區間為.
（2）當時，由（1）知在
，
，依題意有
，
∵
在
上有解，
令，知
在
單調遞減，在
單調遞增，
∴
∴
，∴
的取值范圍為
.
或用
，而
，對
分三種情況：
①
無解；
②
；
③
.
綜上：∴
的取值范圍為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，
、
分別為左、右頂點，
為其右焦點，
是橢圓
上異于、的動點，且
的最小值為-2．
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）若過左焦點
的直線
交橢圓
于
兩點，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】衡陽市為增強市民的環境保護意識，面向全市征召義務宣傳志愿者，現從符合條件的志愿者中隨機抽取100名后按年齡分組：第1組
，第2組
，第3組
，第4組
，第5組
，得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場的宣傳活動，則應從第3，4，5組各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的條件下，該市決定在第3，4組的志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經驗，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
過點
，且離心率為
．
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）若點
與點
均在橢圓
上，且
關于原點對稱，問：橢圓上是否存在點
（點
在一象限），使得
為等邊三角形？若存在，求出點
的坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了豐富高學生的課外生活，某校要組建數學計算機航空模型3個興趣小組，小明要選報其中的2個，則包含的樣本點共有（ ）
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在10名學生中，男生有x名，現從10名學生中任選6人去參加某項活動：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①為必然事件，②為不可能事件，③為隨機事件，則x＝( )
A.5B.6C.3或4D.5或6
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，橢圓
的左、右焦點分別為
，
為橢圓上一點（在
軸上方），連結
并延長交橢圓于另一點
，設
.
（1）若點
的坐標為
，且
的周長為8，求橢圓
的方程；
（2）若
垂直于
軸，且橢圓
的離心率
，求實數
的取值范圍.
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