Question

三個元件T₁、T₂、T₃正常工作的概率分別為0.7、0.8、0.9，將它們的某兩個并聯再和第三個串聯接入電路，如圖甲、乙、丙所示，問哪一種接法使電路不發生故障的概率最大？

Answer 1

圖甲的接法電路不發生故障的概率最大.

解析:

設元件T₁、T₂、T₃能正常工作的事件為A₁、A₂、A₃，電路不發生故障的事件為A，則P（A₁）=0.7，P（A₂）=0.8，P（A₃）=0.9.

（1）按圖甲的接法求P（A）:  A=（A₁+A₂）·A₃，

由A₁+A₂與A₃相互獨立，則P（A）=P（A₁+A₂）·P（A₃）

又P（A₁+A₂）=1–P（）=1–P（·）

由A₁與A₂相互獨立知與相互獨立，得:

P（·）=P（）·P（）=［1–P（A₁）］·［1–P（A₂）］

=（1–0.7）×(1–0.8)=0.06，∴P(A₁+A₂)=0.1–P(·)=1–0.06=0.94，

∴P(A)=0.94×0.9=0.846.

(2)按圖乙的接法求P（A）  A=（A₁+A₃）·A₂且A₁+A₃與A₂相互獨立，則P（A）=P（A₁+A₃）·P（A₂），

用另一種算法求P（A₁+A₃）.

∵A₁與A₃彼此不互斥，

根據容斥原理P（A₁+A₃）=P（A₁）+P（A₃）–P（A₁A₃），

∵A₁與A₃相互獨立，

則P（A₁·A₃）=P（A₁）·P（A₃）=0.7×0.9=0.63,P(A₁+A₃)

=0.7+0.9–0.63=0.97 

∴P(A)=P(A₁+A₃)·P(A₂)=0.97×0.8=0.776.

(3)按圖丙的接法求P（A），用第三種算法.

A=（A₂+A₃）A₁=A₂A₁+A₃A₁,

∵A₂A₁與A₃A₁彼此不互斥，

據容斥原理，則P（A）=P（A₁A₂）+P（A₁A₃）–P（A₁A₂A₃），

又由A₁、A₂、A₃相互獨立，得P（A₁·A₂）=P（A₁）P（A₂）=0.8×0.7=0.56,

P(A₃A₁)=P(A₃)·P(A₁)=0.9×0.7=0.63,

P(A₁A₂A₃)=P(A₁)·P(A₂)·P(A₃)=0.7×0.8×0.9=0.504,

∴P(A)=0.56+0.63–0.504=0.686.

綜合（1）、（2）、（3）得，圖甲、乙、丙三種接法電路不發生故障的概率值分別為0.846,0.776,0.686.故圖甲的接法電路不發生故障的概率最大.