Question

【題目】給定常數c＞0，定義函數f（x）=2|x+c+4|﹣|x+c|．數列a1 ， a2 ， a3 ， …滿足an+1=f（an），n∈N* ．
（1）若a1=﹣c﹣2，求a2及a3；
（2）求證：對任意n∈N* ， an+1﹣an≥c；
（3）是否存在a1 ， 使得a1 ， a2 ， …，an ， …成等差數列？若存在，求出所有這樣的a1；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：a2=f（a1）=f（﹣c﹣2）=2|﹣c﹣2+c+4|﹣|﹣c﹣2+c|=4﹣2=2，

a3=f（a2）=f（2）=2|2+c+4|﹣|2+c|=2（6+c）﹣（c+2）=10+c．

（2）

證明：由已知可得f（x）=

當an≥﹣c時，an+1﹣an=c+8＞c；

當﹣c﹣4≤an＜﹣c時，an+1﹣an=2an+3c+8≥2（﹣c﹣4）+3c+8=c；

當an＜﹣c﹣4時，an+1﹣an=﹣2an﹣c﹣8＞﹣2（﹣c﹣4）﹣c﹣8=c．

∴對任意n∈N*，an+1﹣an≥c；

（3）

解：假設存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差數列．

由（2）及c＞0，得an+1≥an，即{an}為無窮遞增數列．

又{an}為等差數列，所以存在正數M，當n＞M時，an≥﹣c，從而an+1=f（an）=an+c+8，由于{an}為等差數列，

因此公差d=c+8．

①當a1＜﹣c﹣4時，則a2=f（a1）=﹣a1﹣c﹣8，

又a2=a1+d=a1+c+8，故﹣a1﹣c﹣8=a1+c+8，即a1=﹣c﹣8，從而a2=0，

當n≥2時，由于{an}為遞增數列，故an≥a2=0＞﹣c，

∴an+1=f（an）=an+c+8，而a2=a1+c+8，故當a1=﹣c﹣8時，{an}為無窮等差數列，符合要求；

②若﹣c﹣4≤a1＜﹣c，則a2=f（a1）=3a1+3c+8，又a2=a1+d=a1+c+8，∴3a1+3c+8=a1+c+8，得a1=﹣c，應舍去；

③若a1≥﹣c，則由an≥a1得到an+1=f（an）=an+c+8，從而{an}為無窮等差數列，符合要求．

綜上可知：a1的取值范圍為{﹣c﹣8}∪[﹣c，+∞）．

【解析】（1）對于分別取n=1，2，an+1=f（an），n∈N* ． 去掉絕對值符合即可得出；（2）由已知可得f（x）= ，分三種情況討論即可證明；（3）由（2）及c＞0，得an+1≥an ， 即{an}為無窮遞增數列．分以下三種情況討論：當a1＜﹣c﹣4時，當﹣c﹣4≤a1＜﹣c時，當a1≥﹣c時．即可得出a1的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了等差關系的確定的相關知識點，需要掌握如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列才能正確解答此題．