Question

已知函數f(x)=ex-

x2

2

-ax-1，其中a為實數．
（1）當a=-

1

2

時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當x≥

1

2

時，若關于x的不等式f（x）≥0恒成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a=-

1

2

代入函數解析式，求出f（1），求出函數的導函數，得到f′（1），由點斜式寫出切線方程；
（2）把不等式f（x）≥0恒成立轉化為a≤

ex- x2 2 -1

x

恒成立．利用導數求函數g(x)=

ex- x2 2 -1

x

的最小值，則a小于等于函數g（x）的最小值，答案可求．

解答：解：（1）當a=-

1

2

時，f(x)=ex-

x2

2

+

1

2

x-1，f（1）=e-1，
f′(x)=ex-x+

1

2

，f′(1)=e-

1

2

．
故曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：y-e+1=(e-

1

2

)（x-1），
即(e-

1

2

)x-y-

1

2

=0；
（2）由f（x）≥0，得ax≤ex-

x2

2

-1，
∵x≥

1

2

，∴a≤

ex- x2 2 -1

x

．
令g(x)=

ex- x2 2 -1

x

，則g′(x)=

(ex-x)x-(ex- x2 2 -1)

x2

=

ex(x-1)- x2 2 +1

x2

．
令h（x）=ex(x-1)-

x2

2

+1，則h′（x）=x（e^x-1）．
∵x≥

1

2

，∴h′（x）＞0，即h（x）在[

1

2

，+∞）上單調遞增．
∴h（x）≥h（

1

2

）=

7

8

-

e

2

＞0．
∴g′（x）＞0．故g（x）在[

1

2

，+∞）上單調遞增．
則g（x）≥g(

1

2

)=

e 1 2 - 1 8 -1

1 2

=2

e

-

9

4

．
∴a的取值范圍是(-∞，2

e

-

9

4

]．

點評：本題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．考查了數學轉化思想方法及分類討論的數學數學思想方法，是難題．