Question

15．已知矩形ABEF所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，AD=2，AB=3，AF=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，M為EF的中點，則多面體M-ABCD的外接球的表面積為16π．

Answer 1

分析 設球心到平面ABCD的距離為d，利用矩形ABEF所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，AF=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，M為EF的中點，可得M到平面ABCD的距離為$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，從而R²=（$\frac{\sqrt{4+9}}{2}$）²+d²=1²+（$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$-d）²，求出R²=4，即可求出多面體E-ABCD的外接球的表面積．

解答 解：設球心到平面ABCD的距離為d，
∵矩形ABEF所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，AF=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，M為EF的中點，
∴M到平面ABCD的距離為$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴R²=（$\frac{\sqrt{4+9}}{2}$）²+d²=1²+（$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$-d）²，
∴d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，R²=4，
∴多面體E-ABCD的外接球的表面積為4πR²=16π．
故答案為：16π．

點評 本題考查多面體E-ABCD的外接球的表面積，考查學生的計算能力，正確求出多面體E-ABCD的外接球的半徑是關鍵．