Question

（本題15分）如圖，在四棱錐中，底面，， ，， ，是的中點。

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）證明：平面；

（Ⅲ）求二面角的正切值．

 

Answer 1

【答案】

（1）四棱錐中，因底面，故，結合，平面，進而證明

（2）根據底面在底面內的射影是，，，從而證明。

（3）

【解析】

試題分析：解法一：

（Ⅰ）證明：在四棱錐中，因底面，平面，

故．

，平面．

而平面，．…………………4分

（Ⅱ）證明：由，，可得．

是的中點，．

由（Ⅰ）知，，且，所以平面．

而平面，．

底面在底面內的射影是，，．

又，綜上得平面． …………………9分

（Ⅲ）過點作，垂足為，連結．則（Ⅱ）知，平面，在平面內的射影是，則．

因此是二面角的平面角．

由已知，得．設，

可得

．

在中，，，

則．

在中，．

所以二面角的正切值為．  ………………15分

解法二：

（Ⅰ）證明：以AB、AD、AP為x、y，z軸建立空間直角坐標系，設AB=a.

 

…………………5分

（Ⅱ）證明：

 

…………………9分

（Ⅲ）設平面PDC的法向量為

則

又平面APD的法向量是

，所以二面角的正切值是 …………………15分

考點：二面角，線面的垂直關系

點評：解決該試題的關鍵是利用空間中的點線面的位置關系，來結合定理加以證明，同時結合向量法求解二面角，需要運算細心點，中檔題。