Question

【題目】已知各項不為零的數列的前項和為，且， ， ．

（1）若成等比數列，求實數的值；

（2）若成等差數列，

①求數列的通項公式；

②在與間插入個正數，共同組成公比為的等比數列，若不等式對任意的恒成立，求實數的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）依據題設條件建立方程，通過解方程組進行分析求解；（2）先依據題設條件運用等差數列的定義建立方程求出參數，再借助數列的前項和與通項之間的關系求出數列的通項公式；（3）依據題設條件運用兩邊取對數的方法將問題進行等價轉化，然后將參數進行分離，構造函數運用函數思想及導數知識分析求解：

解：（1）當時， ， ，當時， ， ，

由得，即，解得： 。

（2）由得，故， ，所以，

當時， ，

因為，所以

故數列的所有奇數項組成以為首項為公差的等差數列，

其通項公式，

同理，數列的所有偶數項組成以為首項為公差的等差數列，

其通項公式是

所以數列的通項公式是

（3），在與間插入個正數，組成公比為的等比數列，故有，

即，

所以，即，兩邊取對數得，

分離參數得恒成立

令， ，則， ，

令， ，則，

下證， ，

令， 則，所以，

即，用替代可得， ，

所以，所以在上遞減，

所以