Question

4．已知函數f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），其中a＞0且a≠1，設h（x）=f（x）-g（x）
（1）求函數h（x）的定義域，判斷h（x）的奇偶性并說明理由
（2）解不等式h（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）由已知可得h（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x），進而可求函數的定義域，判斷函數的奇偶性；
（2）由h（x）＞0得，log_a（1+x）＞log_a（1-x）；對底數進行分類討論，可得不同情況下不等式的解集．

解答 解：（1）∵函數f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），其中a＞0且a≠1，
∴h（x）=f（x）-g（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）
解$\left\{\begin{array}{l}1+x＞0\\ 1-x＞0\end{array}\right.$得，-1＜x＜1
∴h（x）的定義域為（-1，1）；
∵h（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-h（x）
∴h（x）為奇函數；
（2）由h（x）＞0得，log_a（1+x）＞log_a（1-x）；
①若a＞1，則：$\left\{\begin{array}{l}-1＜x＜1\\ 1+x＞1-x\end{array}\right.$
解得：0＜x＜1
②若0＜a＜1，則：$\left\{\begin{array}{l}-1＜x＜1\\ 1+x＜1-x\end{array}\right.$
解得：∴-1＜x＜0
∴a＞1時，使h（x）＞0的x的取值范圍為（0，1），0＜a＜1時，x的取值范圍為（-1，0）．

點評 本題考查的知識點是函數的定義域，函數的奇偶性，對數函數的圖象和性質，分類討論思想，難度中檔．