Question

9．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，點D是棱B₁C₁的中點．請建立適當的坐標系，求解下列問題：
（Ⅰ）求證：異面直線A₁D與BC互相垂直；
（Ⅱ）求二面角（鈍角）D-A₁C-A的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）AB，AC，AA₁兩兩互相垂直，建立直角坐標系A-xyz，設AB=1，求出相關點的坐標，通過證明$\overrightarrow{{A}_{1}D}•\overrightarrow{BC}$=0，即可證明異面直線A₁D與BC互相垂直．
（Ⅱ）求出平面DA₁C的法向量，平面ACC₁A₁的法向量利用空間向量的數量積求解即可．

解答 解：因為側面ABB₁A₁C₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，
所以AB，AC，AA₁兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標系A-xyz…1分
設AB=1，則C（0，1，0），B（1，0，0），A₁（0，0，1），D（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，1）．…3分
（Ⅰ）證明：由上可知：$\overrightarrow{{A_1}D}=（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0}）$，$\overrightarrow{BC}=（{-1，1，0}）$，…5分
所以$\overrightarrow{{A_1}D}•\overrightarrow{BC}=（{-1，1，0}）•（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0}）=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+0=0$，…6分
所以$\overrightarrow{{A_1}D}⊥\overrightarrow{BC}$，
所以，異面直線A₁D與BC互相垂直．…7分
（Ⅱ）解：$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，1，-1），…9分
設平面DA₁C的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則有

$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{y-z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1）…10分
又因為AB⊥平面ACC₁A₁，所以平面ACC₁A₁的法向量為$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），…11分
∴cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AB}＞$=$|\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AB}|}|$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
因為二面角D-A₁C-A是鈍角，
所以，二面角D-A₁C-A的余弦值為$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…12分．

點評 本題考查二面角的平面角的求法，直線與直線所成角的求法，考查空間向量的應用，轉化思想的應用．