Question

13、函數f（x）=lg（x²-2ax+1+a）在區間（-∞，1]上單調遞減，則實數a的取值范圍是

[1，2）

．

Answer 1

分析：復合函數f（x）=lg（x²-2ax+1+a）中，對數函數y=lgx為單調遞增，在區間（-∞，1]上，a的取值需令真數x²-2ax+1+a＞0，且函數u=x²-2ax+1+a在區間（-∞，1]上應單調遞減，這樣復合函數才能單調遞減．

解答：解：令u=x²-2ax+1+a，則f（u）=lgu，
  配方得u=x²-2ax+1+a=（x-a）² -a²+a+1，故對稱軸為x=a
   如圖所示：
  由圖象可知當對稱軸a≥1時，u=x²-2ax+1+a在區間（-∞，1]上單調遞減，
  又真數x²-2ax+1+a＞0，二次函數u=x²-2ax+1+a在（-∞，1]上單調遞減，故只需當x=1時，若x²-2ax+1+a＞0，則x∈（-∞，1]時，真數x²-2ax+1+a＞0，
 代入x=1解得a＜2，所以a的取值范圍是[1，2）
  故答案為：[1，2）

點評：y=f[g（x）]型函數可以看作由兩個函數y=f（u）和u=g（x）復合而成，一般稱其為復合函數．其中y=f（u）為外層函數，u=g（x）為內層函數．若內、外層函數的增減性相同，則復合函數為增函數；若內、外層函數的增減性相反，則復合函數為減函數．即復合函數單調性遵從同增異減的原則．