Question

如圖，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°．

（1）求證：PC⊥AC；
（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；
（3）求點B到平面MAC的距離．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）

試題分析：（1）先根據線面垂直的判定定理證PC⊥平面ABC，即可證得PC⊥AC。（2）用空間向量法求二面角。先過C作BC的垂線，建立空間直角坐標系，再求各點的坐標，和各向量的坐標，再根據向量垂直的數量積公式求面的法向量，但需注意兩法向量所成的角和二面角相等或互補。（3）在（2）中已求出面的一個法向量，根據可求其距離。
試題解析：解：（1）證明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∵∴PC⊥AC．      2分
（2）在平面ABC內，過C作BC的垂線，并建立空間直角坐標系如圖所示．

設P（0，0，z），則．
．
∵，
且z＞0，∴，得z=1，∴．
設平面MAC的一個法向量為=（x，y，1），則由
得得    ∴．
平面ABC的一個法向量為．
．
顯然，二面角M﹣AC﹣B為銳二面角，∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值為．    8分
（3）點B到平面MAC的距離．           12分