Question

已知數列{a_n}前n項的和為S_n，且有S_n+1=kS_n+2  （n∈N^*），a₁=2，a₂=1．
（1）試證明：數列{S_n-4}是等比數列，并求a_n；
（2）?n∈N^*，不等式恒成立，求正整數t的值；
（3）試判斷：數列{a_n}中任意兩項的和在不在數列{a_n}中？請證明你的判斷．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用n=1求出常數k的值，再根據等比數列的定義找出S_n+1-4與S_n-4的倍數關系，從而得出等比數列，用通項公式求出a_n；
（2）將已知不等式移項，變成恒小于零的問題進行討論，化分式不等式為整式不等式，根據2S_n+1-a_n+1＞a_n+1＞0，變形不等式為形如（x-x₁）（x-x₂）＜0的形式，得出，最后將a_n+1和S_n+1的表達式代入不等式，通過討論得出t的取值；
（3）運用反證法，先假設成立，通過變形、推理，得出矛盾，從而說明不存在．
解答：解：（1）由S_n+1=kS_n+2（n∈N^*），a₁=2，a₂=1，令n=1得k=（1分）
∴S_n+1=S_n+2，即S_n+1-4=（S_n-4），（2分）
因為S₁-4=-2，
∴{S_n-4}是等比數列（3分）
∴S_n-4=（-2）（）^n-1即S_n=4[1-（）ⁿ]，從而求得a_n=（）^n-2（5分）
（2）由得即
化簡得：即[a_t（2S_n+1-a_n+1）-1]（a_ta_n+1-1）＜0（7分）
∵2S_n+1-a_n+1＞a_n+1＞0
∴
∴（9分）
∵a_n=（）^n-2，S_n=4[1-（）ⁿ]
∴
即對?n∈N^*都成立，則（10分）
易得關于n遞減，關于n遞增（11分）
∴n=1時它們分別取得最大與最小，從而有即
∴t=3或4時成立．（12分）
（3）不在．（13分）
假設存在兩項a_m，a_n的和在此數列中，設為第k項，即a_m+a_n=a_k（m，n，k互不相等）
∵a_n=（）^n-2是關于n單調遞減，
∴不妨設k＜m＜n則有（）^m-2+（）^n-2=（）^k-2（*）
（*）式兩邊同乘以2^n-2，則有2^n-m+1=2^n-k顯然這是不可能成立的．（16分）
點評：本題是一道數列與不等式相結合的綜合題，屬于難題．第一小問運用等比數列定義，得出通項公式，入手較容易；第二小問將不等式進行等價變形，同時要注意數列a_n+1、S_n+1表達式的及時運用與代入，還要結合數列的單調性的討論，才能正確找出t的值，是本題的難點；第三小問運用反證法的同時，應注意推導時的等價變形和整數解的討論．