Question

橢圓

x2

16

+

y2

4

=1上有兩點P、Q，O為原點，若OP、OQ斜率之積為-

1

4

，則|OP|²+|OQ|² 為（　　）

A．4

B．20

C．64

D．不確定

Answer 1

分析：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）都在橢圓

x2

16

+

y2

4

=1上，由OP、OQ斜率之積為-

1

4

，得出關于P，Q坐標的關系式，|OP|2+|OQ|2=

x

2 1

+

y

2 1

+

x

2 2

+

y

2 2

代入可求出結果．

解答：解：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）都在橢圓

x2

16

+

y2

4

=1上，
則OP、OQ斜率分別為：

y1

x1

，

y2

x2

．
由OP、OQ斜率之積為-

1

4

，得：

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

4

，
即x₁x₂=-4y₁y₂，平方得(x1x2) 2=16(y1y2) 2，
又

y

2 1

=4-

1

4

x

2 1

，

y

2 2

=4-

1

4

x

2 2

，代入上式得：

x

2 1

x

2 2

=16( 4-

1

4

x

2 1

)( 4-

1

4

x

2 2

)，
化簡得：

x

2 1

+

x

2 2

=16．
∴|OP|2+|OQ|2=

x

2 1

+

y

2 1

+

x

2 2

+

y

2 2

=

x

2 1

+ 4-

1

4

x

2 1

+

x

2 2

+ 4-

1

4

x

2 2

=

3 4 (x

2 1

+

x

2 2

)+8=12+8=20．
故選B．

點評：本題主要考查了利用直線與圓錐曲線的位置關系的性質求解橢圓的方程，解題中要具備較強的計算能力與邏輯推理能力，主要考查了考查的計算能力．