Question

已知橢圓

x2

16

+

y2

4

=1的焦點為F₁，F₂，P為橢圓上一點，且∠F1PF2=90°，則△F₁PF₂的面積為

4

．

Answer 1

分析：根據橢圓的方程，算出c=

a2-b2

=2

3

，Rt△F₁PF₂中利用勾股定理得|PF₁|²+|PF₂|²=48．再根據橢圓的定義得到|PF₁|+|PF₂|=2a=8，兩式聯解可得|PF₁|•|PF₂|=8，由此即可得到Rt△F₁PF₂的面積為S=4．

解答：解：∵橢圓方程為

x2

16

+

y2

4

=1，
∴a²=16且b²=4，可得c=

a2-b2

=2

3

∵∠F1PF2=90°，∴|PF₁|²+|PF₂|²=（2c）²=48…①
根據橢圓的定義，得|PF₁|+|PF₂|=2a=8
∴(|PF1|+|PF2|)2=64…②
②減去①，得2|PF₁|•|PF₂|=16，可得|PF₁|•|PF₂|=8
∴Rt△F₁PF₂的面積為S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|=4
故答案為：4

點評：本題給出橢圓的焦點三角形為直角三角形，求焦點三角形的面積．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．