Question

對于函數f（x），若存在實數a，使函數f（x）在區間[a，a+1]和[2a，2（a+1）]上單調且增減性相反，則稱函數f（x）為H函數，下列說法中正確的是

 

．
①函數y=x²-2x+1是H函數；
②函數y=sin

1

2

x是H函數；
③若函數y=x²-2tx+1是H函數，則必有t≤2；
④存在周期T=3的函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）是H函數．

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：根據已知中H函數的定義，可得函數在直線x=t兩側單調相反，則t≥2，由此逐一分析四個結論的正誤，可得答案．

解答： 解：由已知中H函數的定義，可得a≠0，
若函數在直線x=t兩側單調相反，
若a＞0，t＞0，則a+1≤t≤2a，解得：a≥1，即t≥2，
函數y=x²-2x+1在直線x=1兩側單調相反，1＜2，故①錯誤；
函數y=sin

1

2

x在直線x=π兩側單調相反，π＞2，故②正確
函數y=x²-2tx+1在直線x=t兩側單調相反，故t≥2，故③錯誤；
周期T=3的函數f（x）的圖象若直線x=t兩側單調相反，則t＜

3

2

，故④錯誤；
故說法正解的只有②，
故答案為：②．

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了H函數的定義，正確理解H函數的定義，是解答的關鍵．