Question

（本小題12分）過橢圓右焦點F2的直線交橢圓于A，B兩點，F1為其左焦點，已知△AF1B的周長為8，橢圓的離心率為．

（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個交點P，Q，且⊥？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在這樣的圓，．

【解析】

試題分析：（1）設橢圓的方程，用待定系數法求出的值，根據題意列方程求解；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據題意設直線方程，有的題設條件已知點，而斜率未知；有的題設條件已知斜率，點不定，可由點斜式設直線方程．第二步：聯立方程：把所設直線方程與橢圓的方程聯立，消去一個元，得到一個一元二次方程．第三步：求解判別式：計算一元二次方程根．第四步：寫出根與系數的關系．第五步：根據題設條件求解問題中結論．

試題解析：（1）由已知得，解得（2分）

∴b2＝a2－c2＝1，故橢圓C的方程為． （4分）

（2）假設滿足條件的圓存在，其方程為x2＋y2＝r2(0＜r＜1)．

當直線PQ的斜率存在時，設其方程為，

由，消去y整理得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0．

設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝．① （6分）

∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0．又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，

∴x1x2＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝0，即(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝0．②

將①代入②得，

即t2＝(1＋k2)． （8分）

∵直線PQ與圓x2＋y2＝r2相切，∴r＝＝＝∈(0,1)，

∴存在圓x2＋y2＝滿足條件． （10分）

當直線PQ的斜率不存在時，也適合．

綜上所述，存在圓心在原點的圓滿足條件． （12分）

考點：1、求橢圓的標準方程；2、直線與橢圓的綜合應用．