Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，an=sin

nπ

4

，則S₂₀₁₀等于

2

2

+1

．

Answer 1

分析：因為數列{a_n}的前n項和為S_n，an=sin

nπ

4

，可得周期T=

2π

1 4 π

=8，求出一個周期的和，再求出S₂₀₁₀；

解答：解：∵數列{a_n}的前n項和為S_n，an=sin

nπ

4

，可得T=

2π

1 4 π

=8，
因為a₁=sin

π

4

=

2

2

；
a₂=sin

π

2

=1，
a₃=sin

3π

4

=

2

2

，
a₄=sinπ=0，
a₅=sin（π+

π

4

）=-

2

2

，
a₆=sin

3π

2

=-1，
a₇=sin

7π

4

=-

2

2

，
a₈=sin2π=0，一個周期為：a₁+a₂+a₃+…+a₈
=

2

2

+1+

2

2

+0-

2

2

-1-

2

2

+0=0，
要求S₂₀₁₀因為2010=8×251+2，
∴S₂₀₁₀=251×0+

2

2

+1=

2

2

+1，
故答案為

2

2

+1；

點評：此題主要考查三角函數的周期性，只要求出一個周期的和，就會比較容易，此題是一道中檔題；