Question

在△ABC中，角A，B，C滿足4cosBcos2

A+C

2

+cos2B=0
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將已知等式左邊第一項第二個因式利用二倍角的余弦函數公式化簡，第二項利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后利用誘導公式變形，求出cosB的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值求出B的度數即可；
（Ⅱ）由B的度數，利用三角形的內角和定理求出A+C的度數，用A表示出C，代入sinA+sinC中，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，整理后再利用特殊角的三角函數值及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由這個角的范圍求出正弦函數的值域，即可得出所求式子的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由已知2cosB[1+2cos（A+C）]+2cos²B-1=0，
可化為：2cosB（1-cosB）+2cos²B-1=0，即2cosB-1=0，
解得：cosB=

1

2

，又B為三角形的內角，
則B=

π

3

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）B=

π

3

，得到A+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-A，且0＜A＜

2π

3

，
∴sinA+sinC=sinA+sin（

2π

3

-A）
=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3

2

sinA+

3

2

cosA
=

3

sin（A+

π

6

），
∵

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，∴

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，
則sinA+sinC的取值范圍為（

3

2

，

3

]．

點評：此題考查了二倍角的余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及特殊角的三角函數值，熟練公式是解本題的關鍵．