Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹．
（Ⅰ）證明：數列{

an

2n

}是等差數列；
（Ⅱ）若不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n對?n∈N^*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明：數列{

an

2n

}是等差數列；要證明數列{

an

2n

}是等差數列，先根據s_n-s_n-1=a_n，用作差法得到a_n，a_n-1的關系，再用定義證明．
（Ⅱ）若不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n對?n∈N^*恒成立，求λ的取值范圍，用分離參數法，因為a_n＞0，所以不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n∴5-λ＞

2n2-n-3

an

，只要5-λ＞(

2n2-n-3

an

)的最大值，即可求出λ的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當n=1時，S₁=2a₁-2²得a₁=4．S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，
當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ，兩式相減得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ即a_n=2a_n-1+2ⁿ，
所以

an

2n

-

an-1

2n-1

=

2an-1+2n

2n

-

an-1

2n-1

=

an-1

2n-1

+1-

an-1

2n-1

=1．
又

a1

21

=2，
所以數列{

an

2n

}是以2為首項，1為公差的等差數列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

an

2n

=n+1，即a_n=（n+1）•2ⁿ．
因為a_n＞0，所以不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n等價于5-λ．＞

2n-3

2n

設{bn} =

2n-3

2n

，則b₁=-

1

2

；b₂=

1

4

；b₃=

3

8

；b4=

5

16

…
∴.(bn)max=b3=

3

8

∴λ＜

37

8

．

點評：本題考查了通項公式與前n項和公式的關系，等差數列的定義的應用．恒成立問題主要利用分離參數法轉化為求最值問題解決．