Question

（理科）已知函數f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，x∈R，t∈R．
（1）當t≠0時，求f（x）的單調區間；
（2）證明：對任意t∈（0，+∞），f（x）在區間（0，1）內均存在零點．

Answer 1

分析：（1）由f'（x）=12x²+6tx-6t²，令f'（x）=0，得x₁=-t或x2=

t

2

．分類討論：當t＞0時，f'（x）＞0的解集為(-∞，-t)∪(

t

2

，+∞)；當t＜0時，f'（x）＜0的解集為(

t

2

，-t)，故可求f（x）的單調增區間與單調減區間；（2）由（1）可知，當t＞0時，f（x）在(0，

t

2

)內遞減，(

t

2

，+∞)內單調遞增．進而分類討論：當

t

2

≥1，即t≥2時，f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；當0＜

t

2

＜1，即0＜t＜2時，f（x）在(0，

t

2

)內遞減，在(

t

2

，1)內單調遞增．利用零點存在定理可證對任意t∈（0，2），f（x）在區間（0，1）內均存在零點．

解答：（1）解：f'（x）=12x²+6tx-6t²，令f'（x）=0，得x₁=-t或x2=

t

2

．
1°當t＞0時，f'（x）＞0的解集為(-∞，-t)∪(

t

2

，+∞)
∴f（x）的單調增區間為(-∞，-t)，(

t

2

，+∞)，f（x）的單調減區間為(-t，

t

2

)．
2°當t＜0時，f'（x）＜0的解集為(

t

2

，-t)
∴f（x）的單調增區間為(-∞，

t

2

)，(-t，+∞)，f（x）的單調減區間為(

t

2

，-t)．
（2）證明：由（1）可知，當t＞0時，f（x）在(0，

t

2

)內遞減，(

t

2

，+∞)內單調遞增．
1°當

t

2

≥1，即t≥2時，f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增．
f（0）=t-1＞0，f（1）=-6t²+4t+3＜0
∴f（x）在（0，1）內有零點．
2°當0＜

t

2

＜1，即0＜t＜2時，f（x）在(0，

t

2

)內遞減，在(

t

2

，1)內單調遞增．
若t∈(0，1]，f(

t

2

)=-

7

4

t3+t-1≤-

7

4

t3＜0，f（1）=-6x²+4t+3≥-6t+4t+3=3-2t＞0
∴f（x）在(

t

2

，1)內存在零點．
若t∈(1，2)，f(

t

2

)=-

7

4

t3+t-1＜0，f（0）=t-1＞0
∴f（x）在(0，

t

2

)內存在零點．
∴對任意t∈（0，2），f（x）在區間（0，1）內均存在零點．

點評：本題以函數為載體，考查利用導數研究函數的單調區間，考查函數的零點，正確分類是解題的關鍵．