Question

用一塊長(zhǎng)為a，寬為b（a＞b）的矩形木板，在二面角為γ的墻角處，圍出一個(gè)直三棱柱的谷倉(cāng)，在下面四種設(shè)計(jì)中，容積最大的是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：以長(zhǎng)a放在地面，或以b放在底面，利用余弦定理表示底面三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系，求出棱柱的體積，求解最大值，推出結(jié)果．

解答：解：①對(duì)于A、C，如圖，
若使矩形木板長(zhǎng)邊a貼緊地面，即AB=CD=a，AD=BC=b，
設(shè)PA=x，PB=y，則a²=x²+y²-2xycosγ≥2xy-2xycosγ．
∴xy≤

a2

2(1-cosγ)

（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)，即α=β）．這時(shí)容積V₁=（

1

2

xy sinγ）•b≤

a2bsinγ

4(1-cosγ)

=

1

4

a²bcot

γ

2

．
②對(duì)于B、D，如圖
若使矩形木板短邊貼緊地面，則同理可得xy ≤

b2

2(1-cosγ)

．
這時(shí)容積V₂=（

1

2

xy sinγ）•a≤

1

4

ab²cot

γ

2

．
∵a＞b＞0，cot

γ

2

＞0 
∴V₁＞V₂．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三棱柱體積的求法，余弦定理以及基本不等式的應(yīng)用，是綜合性比較高的題目．