Question

用一塊長為a，寬為b(a＞b)的矩形木板，在二面角為α的墻角處圍出一個直三棱柱的谷倉，試問應怎樣圍才能使谷倉的容積最大？并求出谷倉容積的最大值.

Answer 1

當木板的長邊著地，并且谷倉的底面是以a為底邊的等腰三角形時，谷倉的容積最大，其最大值為a²bcos.

解析:

如圖，設矩形木板的長邊AB著地，并設OA=x，OB=y，則a²=x²+y²－2xycosα≥2xy

－2xycosα=2xy(1－cosα).

∵0＜α＜π,∴1－cosα＞0,∴xy≤ (當且僅當x=y時取“=”號)，故此時谷倉的容積的最大值V₁=(xysinα)b=  同理，若木板短邊著地時，谷倉的容積V的最大值V₂=ab²cos,

∵a＞b,∴V₁＞V₂

從而當木板的長邊著地，并且谷倉的底面是以a為底邊的等腰三角形時，谷倉的容積最大，其最大值為a²bcos.