Question

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.

（1)求證：PA∥平面EDB；

（2)求證：PB⊥平面EFD；

（3)求二面角C－PB－D的大小.

Answer 1

【答案】（1)詳見(jiàn)解析（2)詳見(jiàn)解析（3) 60°

【解析】

試題分析：（1）連接AC，AC交BD于O，連接EO要證明PA∥平面EDB，只需證明直線(xiàn)PA平行平面EDB內(nèi)的直線(xiàn)EO；（2）要證明PB⊥平面EFD，只需證明PB垂直平面EFD內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)DE、EF，即可；（3）必須說(shuō)明∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，然后求二面角C-PB-D的大小

試題解析：(1)證明: 如圖所示，連接AC，AC交BD于O，連接EO.

∵底面ABCD是正方形，

∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn).

在△PAC中，EO是中位線(xiàn)，

∴PA∥EO. ……2

而EO平面EDB且PA平面EDB，

∴PA∥平面EDB. ……4

（2)證明: ∵PD⊥底面ABCD，且DC底面ABCD，

∴PD⊥DC.

∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形.

而DE是斜邊PC的中線(xiàn)，∴DE⊥PC.① ……6

同樣，由PD⊥底面ABCD，BC平面ABCD，得PD⊥BC.

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC,又PD∩CD＝D，

∴BC⊥平面PDC.

而DE平面PDC，∴BC⊥DE.②

由①和②且PC∩BC＝C可得DE⊥平面PBC.

而PB平面PBC，∴DE⊥PB.

又EF⊥PB且DE∩EF＝E，

∴PB⊥平面EFD. ……8

（3)解 由（2)知，PB⊥DF.

故∠EFD是二面角C－PB－D的平面角. ……9

由（2)知DE⊥EF，PD⊥DB.

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，

則PD＝DC＝a，BD＝a，

PB＝a，PC＝a，DE＝a，

在Rt△PDB中，DF＝a.

在Rt△EFD中，sin∠EFD＝，

∴∠EFD＝60°. ……11

∴二面角C－PB－D的大小為60°. ……12