Question

正項數列{a_n}的前n項和為S_n，且．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設，數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據求得a₁，進而根據4S_n=（a_n+1）²和4S_n-1=（a_n-1+1）²（n≥2）兩式相減整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，進而可得a_n-a_n-1=2判斷出數列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列．求得其通項公式．
（Ⅱ）把（1）中求得的a_n代入中，即可求得b_n，進而可用裂項法進行求和，得T_n=根據使原式得證．
解答：解：（Ⅰ）∵，
∴a₁=1．
∵a_n＞0，，
∴4S_n=（a_n+1）²．①
∴4S_n-1=（a_n-1+1）²（n≥2）．②
①-②，得4a_n=a_n²+2a_n-a_n-1²-2a_n-1，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
而a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2（n≥2）．
故數列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列．
∴a_n=2n-1．
（Ⅱ）．
T_n=b₁+b₂++b_n==．
點評：本題主要考查了數列的求和問題．數列的求和問題是高考中常考的題目，所以我們平時的時候應注意多積累數列求和的方法．