Question

設S_n是正項數列{a_n}的前n項和且Sn= 

1

2

an2+

1

2

an-1．
（1）求a_n；  
（2）若bn=2n求T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的值．

Answer 1

分析：（1）n=1時，a₁=S1= 

1

2

a12+

1

2

a1-1，n≥2時，Sn= 

1

2

an2+

1

2

an-1，再寫一式，兩式相減，可得數列{a_n}是以2為首項，1為公差的等差數列，從而可求數列的通項；
（2）T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2×2¹+3×2²+…+（n+1）×2ⁿ，利用錯位相減法可求數列的和．

解答：解：（1）由已知正項數列{a_n}
n=1時，a₁=S1= 

1

2

a12+

1

2

a1-1，解得a₁=2
n≥2時，∵Sn= 

1

2

an2+

1

2

an-1①
∴Sn-1= 

1

2

an-12+

1

2

an-1-1②
①-②可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1-1=0
∴數列{a_n}是以2為首項，1為公差的等差數列
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1
（2）T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2×2¹+3×2²+…+（n+1）×2ⁿ③
∴2T_n=2×2²+…+n×2ⁿ+（n+1）×2ⁿ⁺¹④
④-③可得T_n=-2×2¹-2²-…-2ⁿ+（n+1）×2ⁿ⁺¹=-4-

4(1-2n-1)

1-2

+（n+1）×2ⁿ⁺¹=n•2^n-1
∴T_n=n•2^n-1．

點評：本題考查等差數列的通項，考查數列的求和，確定數列的通項，利用錯位相減法求數列的和是關鍵．