Question

設首項為1的正項數列{a_n}的前n項和為S_n，數列{an2}的前n項和為T_n，且Tn=

4-(Sn-p)2

3

，其中p為常數．
（1）求p的值；
（2）求證：數列{a_n}為等比數列；
（3）證明：“數列a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差數列，其中x、y均為整數”的充要條件是“x=1，且y=2”．

Answer 1

分析：（1）n=1時，由1=

4-(1-p)2

3

求得p的值，再排除p=0的情形即可得到結論；
（2）當p=2時，Tn=

4

3

-

1

3

(2-Sn)2，再寫一式，兩式相減可得3a_n+1=4-S_n+1-S_n，再寫一式，兩式相減，可得數列{a_n}是等比數列；
（3）分充分性與必要性分別證明，必須搞清證明中的條件與結論．

解答：（1）解：n=1時，由1=

4-(1-p)2

3

得p=0或2，
若p=0時，Tn=

4-Sn2

3

，
當n=2時，1+a22=

4-(1+a2)2

3

，解得a₂=0或a2=-

1

2

，
而a_n＞0，所以p=0不符合題意，故p=2；
（2）證明：當p=2時，Tn=

4

3

-

1

3

(2-Sn)2①，則Tn+1=

4

3

-

1

3

(2-Sn+1)2②，
②-①并化簡得3a_n+1=4-S_n+1-S_n③，則3a_n+2=4-S_n+2-S_n+1④，
④-③得an+2=

1

2

an+1（n∈N^*），
又因為a2=

1

2

a1，所以數列{a_n}是等比數列，且an=

1

2n-1

；
（3）證明：充分性：若x=1，y=2，由an=

1

2n-1

知a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2依次為

1

2n-1

，

2

2n

，

4

2n+1

，
滿足2×

2

2n

=

1

2n-1

+

4

2n+1

，即a_n，2^xa_n+₁，2^ya_n+₂成等差數列；
必要性：假設a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差數列，其中x、y均為整數，又an=

1

2n-1

，
所以2•2x•

1

2n

=

1

2n-1

+2y•

1

2n+1

，化簡得2^x-2^y-2=1
顯然x＞y-2，設k=x-（y-2），
因為x、y均為整數，所以當k≥2時，2^x-2^y-2＞1或2^x-2^y-2＜1，
故當k=1，且當x=1，且y-2=0時上式成立，即證．

點評：本題主要考查等差、等比數列的定義與通項公式、求和公式等基礎知識，考查靈活運用基本量進行探索求解、推理分析能力．