Question

【題目】已知函數,其中為自然對數的底數.若不等式對恒成立,則的最小值等于____________.

Answer 1

【答案】

【解析】法1： .

（1）若即，則在上恒成立.當時，又，故，與恒成立矛盾，舍去；

（2）若即，則當時， ， 在為增函數；當時， ， 在為減函數，故，整理得到，所以， .

令，則，注意到為上的減函數，且當， ，所以

當時， 即， 在上是增函數；

當時， 即， 在上是減函數，

所以，故即，當且僅當時等號成立，即的最小值為.

法2：令，從而， 可以轉化為在上恒成立，令，其在是增函數且.設為曲線的任意一點，在處的切線方程為，令，則，

當時， ， 在在是減函數；

當時， ， 在在是增函數；

事宜，從而，所以的圖像始終在其任意一點處的切線的下方或與其相切，所以，即，故所求的最小值為.