Question

（2013•石家莊二模）已知正方形AP₁P₂P₃的邊長為2，點B、C分別為邊P₁P₂，P₂P₃的中點，沿AB、BC、CA折疊成一個三棱錐P-ABC（使P₁，P₂，P₃重合于點P），則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（　　）

• A．8

  3

  π
• B．36π
• C．12π
• D．6π

Answer 1

分析：根據題意，得折疊成的三棱錐P-ABC三條側棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，可得三棱錐P-ABC的外接球的直徑等于以PA、PB、PC為長、寬、高的長方體的對角線長，由此結合AP=2、BP=CP=1算出外接球的半徑R=

6

2

，結合球的表面積公式即可算出三棱錐P-ABC的外接球的表面積．

解答：解：根據題意，得
三棱錐P-ABC中，AP=2，BP=CP=1
∵PA、PB、PC兩兩互相垂直，
∴三棱錐P-ABC的外接球的直徑2R=

AP2+BP2+CP2

=

6

可得三棱錐P-ABC的外接球的半徑為R=

6

2

根據球的表面積公式，得三棱錐P-ABC的外接球的表面積為
S=4πR²=4π×（

6

2

）²=6π
故選：D

點評：本題將正方形折疊成三棱錐，求三棱錐的外接球的表面積．著重考查了長方體的對角線長公式、三棱錐的外接球和球的表面積公式等知識，屬于中檔題．