Question

已知橢圓的一個焦點在直線l：x=1上，離心率e=。設P、Q為橢圓上不同的兩點，且弦PQ的中點T在直線l上，點R(，0)，
(1)求橢圓的方程；
(2)試證：對于所有滿足條件的P、Q，恒有|RP|=|RQ|。

Answer 1

解：(1)橢圓的一個焦點在直線l：x=1上，所以c=1，
又因為離心率e=，即=，
所以a=2，從而b²=3，
所以橢圓的方程為；
(2)證明：設T(1，y₀)，P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，
則=(，y₀)，=(x₂-x₁，y₂-y₁)，=(x₂-x₁)+y₀(y₂-y₁)．
又因為P、Q都在橢圓上，
所以，
兩式相減得(x₁-x₂)(x₁+x₂)+(y₁-y₂)(y₁+y₂)=0，
因為點T是PQ的中點，所以x₁+x₂=2，y₁+y₂=2y₀，
于是(x₁-x₂)+y₀(y₁-y₂)=0，
所以(x₁-x₂)+y₀(y₁-y₂)=0，
即=0，所以RT⊥PQ，
即RT是線段PQ的垂直平分線，所以恒有|RP|=|RQ|。