Question

已知函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

(p-1)x2+qx(p，q為常數）
（1）若f（x）在（x₁，x₂）上單調遞減，在（-∞，x₁）和（x₂，+∞）上單調遞增，且x₂-x₁＞1，求證：p²＞2（p+2q）；
（2）若f（x）在x=1和x=3處取得極值，且在x∈[-6，6]時，函數y=f（x）的圖象在直線l：15x-y+c=0的下方，求c的取值范圍？

Answer 1

分析：（1）先求出函數f（x）的導數，根據題意可知x₁，x₂是導函數所對應方程的兩個根，將條件x₂-x₁＞1轉化成（x₂-x₁）²＞1，然后利用根數系數的關系建立不等關系，化簡即可證得結論；
（2）先根據f（x）在x=1和x=3處取得極值，求出f（x）的解析式，令F（x）=f（x）-（15x+c），求出F（x）的極值，
將f（x）的各極值與其端點的函數值比較，其中最大的一個就是最大值，使F（x）的最大值小于零即可求出c的取值范圍．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

3

x3+

1

2

(p-1)x2+qx，∴f′(x)=x2+(p-1)x+q
又x₁，x₂是函數f（x）的兩個極值點，則x₁，x₂是x²+（p-1）x+q=0的兩根，
∴x₁+x₂=1-p，x₁x₂=q（2分）
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（1-p）²-4q，（4分）
∵x₂-x₁＞1，∴（x₂-x₁）²＞1，∴（1-p）²-4q＞1
即p²-2p-4q＞0，∴p²＞2（p+2q）
（2）由題意，

f′(1)=0 f′(3)=0

即

p+q=0 3p+q=-6

∴

p=-3 q=3

（7分）
∴f(x)=

1

3

x3-2x2+3x，
令F（x）=f（x）-（15x+c）=

1

3

x2-2x2-12x-c，∴F'（x）=x²-4x-12
令F′（x）=0，∴x²-4x-12=0∴x₁=-2，x₂=6
當x∈（-6，-2）時，F′（x）＞0，F（x）在[-6，-2]上遞增，
當x∈（-2，6）時，F′（x）＜0，F（x）在[-2，6]上遞減
∴F(x)max=F(-2)=

40

3

-c(10分)
令F（-2）＜0，即

40

3

-c＜0，∴c＞

40

3

（11分）
∴所求c的取值范圍為(

40

3

，+∞)（12分）

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及利用導數研究函數的單調性，屬于中檔題．