Question

已知函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx(a，b∈R)，且函數f（x）在區間（0，1）內取得極大值，在區間（1，2）內取得極小值，則

a2+b2+6a+9

的取值范圍是

(

2

2

，2)

．

Answer 1

分析：三次函數導函數是二次函數，開口向上，一根在區間（0，1）內，另一根在區間（1，2）內，利用導函數可建立關于a，b的不等式，利用線性規劃的知識可以求出取值范圍．

解答：解：f′（x）=x²+ax+2b，由題意，

2b＞0 1+a+2b＜0 4+2a+2b＞0

，
又

a2+b2+6a+9

的幾何意義是點（a，b）與（-3，0），
利用點（a，b）所確定的區域可求得其取值范圍是(

2

2

，2)，
故答案為(

2

2

，2)

點評：利用函數在區間內取極值轉化為導數為0的根在所在區間內是解題的關鍵，同時正確得出可行域，利用目標函數的幾何意義解題是處理這道問題的技巧所在．