Question

（2010•浙江模擬）已知四棱錐P-ABCD，底面是邊長為1的正方形，側棱PC長為2，且PC⊥底面ABCD，E是側棱PC上的動點．
（Ⅰ）不論點E在何位置，是否都有BD⊥AE？證明你的結論；
（Ⅱ）求點C到平面PDB的距離；
（Ⅲ）若點E為PC的中點，求二面角D-AE-B的大小．

Answer 1

分析：（I）連接AC，由正方形對角線互相垂直，則已知中PC⊥面ABCD，我們易得BD⊥AE，BD⊥AC，由線面垂直的判定定理得BD⊥平面PAC，再由線面垂直的性質即可得到不論點E在何位置，都有BD⊥AE．
（II）點到平面的距離可以根據等體積法交線計算，即V_P-BCD=V_C-BPD，在換頂點求體積時應當換一個高與底面積都易求的頂點．
（III）建立空間直角坐標系，分別求出兩個平面的法向量再結合向量的有關運算計算出二面角的平面角的余弦值，進而求出角度．

解答：解：（Ⅰ） 不論點E在何位置，都有BD⊥AE                      …（1分）
證明：連接AC，由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形
∴BD⊥AC．
∵PC⊥底面ABCD 且BD?平面ABCD，
∴BD⊥PC．…（3分）
又∵AC∩PC=C，
∴BD⊥平面PAC．
∵不論點E在何位置，都有AE?平面PAC，
∴不論點E在何位置，都有BD⊥AE．                …（5分）
（Ⅱ）由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，
側棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．…（7分）
設點C到平面PDB的距離為d，
∵V_P-BCD=V_C-BPD，
∴

1

3

S△BCD•PC=

1

3

S△BPD•dPD=PB=

5

，BD=

2

，
∴S△BPD=

3

2

，S△BCD=

1

2

∴d=

2

3

---------------------------（10分）
（Ⅲ）以點C為坐標原點，CD所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如圖示：
則D（1，0，0），A（1，1，0），B（0，1，0），E（0，0，1），
從而

DE

=(-1，0，1)，

DA

=(0，1，0)，

BA

=(1，0，0)，

BE

=(0，-1，1)
設平面ADE和平面ABE的法向量分別為

m

=(a，b，c)，

n

=(a′，b′，c′)
由法向量的性質可得：-a+c=0，b=0，a'=0，-b'+c'=0
令c=1，c'=-1，則a=1，b'=-1，
∴

m

=(1，0，1)，

n

=(0，-1，-1)
設二面角D-AE-B的平面角為θ，則 cosθ=

m • n

|m |•| n |

=-

1

2

∴θ=

π

3

．

點評：本題主要考查線面垂直、點到平面的距離與二面角的求法，解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構特征，進而便于得到點、線、面的位置關系，也可以利用建立空間坐標系求解二面角、空間距離或者判定線面的位置關系．