Question

已知函數f （x）=x²+ax，
（1）若函數關于x=1對稱，求實數 a的值；
（2）若函數關于x=1對稱，且x∈[0，3]，求函數值域；
（3）若f（x）是定義在（-1，1）上的減函數，且f（a-1）＞f（2a），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）找出對稱軸方程和x=1相等即可．
（2）利用開口向上的二次函數離對稱軸越近函數值越小，離對稱軸越遠函數值越大來求值域即可．
（3）首先變量要在定義域內，再利用減函數函數值越大自變量越小來求a的取值范圍．

解答：解：∵f （x）=x²+ax=（x+

a

2

）²-

a2

4

，對稱軸為x=-

a

2

∴-

a

2

=1?a=-2
（2）∵a=-2?f（x）=（x-1）²-1，
∴當x=1時，f（x）_min=-1，當x=3時，f（x）_max=3
∴函數值域[-1，3]．
（3）∵f（x）是定義在（-1，1）上的減函數，且f（a-1）＞f（2a），
∴須滿足

-1＜a-1＜1 -1＜2a＜1 a-1＜2a

?0＜a＜

1

2

∴a的取值范圍  0＜a＜

1

2

．

點評：本題第二問考查了二次函數在固定閉區間上的最值問題．這類問題一般根據是開口向上的二次函數離對稱軸越近函數值越小，離對稱軸越遠函數值越大；開口向下的二次函數離對稱軸越近函數值越大，離對稱軸越遠函數值越小