Question

（本小題滿分14分） 函數．

（1）要使在（0，1）上單調遞增，求的取值范圍；

（2）當＞0時，若函數滿足=1，=，求函數的解析式；

（3）若x∈[0，1]時，圖象上任意一點處的切線傾斜角為θ，求當0≤θ≤時的取值范圍．

 

Answer 1

（1）≥;（2）≤≤．

【解析】

試題分析：（1）若可導函數在指定的區間上單調遞增（減），求參數問題，可轉化為恒成立，從而構建不等式，要注意“=”是否可以取到．（2）已知可導函數的極值求函數解析式的步驟一、求導數；二、求方程的根；三、檢查與方程的根左右值的符號，如果左正右負，那么在這個根處取得極大值，如果左負右正，那么在這個根處取得極小值，四、再根據所給的極值，列出方程（或方程組）求出參數即可；（3）導數的幾何意義的應用．

試題解析：（1），要使在（0，1）上單調遞增，

則∈（0，1）時，≥0恒成立．∴≥0，即當∈（0，1）時，≥恒成立．

∴≥，即的取值范圍是[∞． 4分

（2）由，令 =0，得=0，或=．∵＞0，∴當變化時，

、 的變化情況如下表：

	（-∞，0）	0	（0，）		（，+∞）
	-	0	+	0	-
		極小值		極大值

 

∴y極小值==b=1，y極大值== - + · +1=．

∴b=1，=1．故=． 9分

（3）當∈[0，1]時，tanθ=．由θ∈[0，]，得0≤≤1，

即∈[0，1]時，0≤≤1恒成立．當=0時，∈R．

當∈（0，1]時，由≥0恒成立，由（2）知≥．

由≤1恒成立，≤（3+），∴≤（等號在=時取得）．

綜上，≤≤． 14分

考點：函數的極值，單調性與導數，函數導數的幾何意義．