Question

（2013•鹽城三模）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x²+y²-（6-2m）x-4my+5m²-6m=0，直線l經過點（1，0）．若對任意的實數m，定直線l被圓C截得的弦長為定值，則直線l的方程為

2x+y-2=0

．

Answer 1

分析：根據圓的方程求出圓心和半徑，由題意可得圓心C到直線l的距離為定值．當直線l的斜率不存在時，經過檢驗不
符合條件．當直線l的斜率存在時，直線l的方程為 y-0=k（x-1），圓心C到直線l的距離為定值求得k的值，從而求得
直線l的方程．

解答：解：圓C：x²+y²-（6-2m）x-4my+5m²-6m=0 即[x-（3-m）]²+（y-2m）²=9，表示以C（3-m，2m）為圓心，半徑等于3的圓．
∵直線l經過點（1，0），對任意的實數m，定直線l被圓C截得的弦長為定值，則圓心C到直線l的距離為定值．
當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為 x=1，圓心C到直線l的距離為|m-3-1|=|m-4|，不是定值．
當直線l的斜率存在時，設直線l的斜率為k，則直線l的方程為 y-0=k（x-1），即 kx-y-k=0．
此時，圓心C到直線l的距離 d=

|k(3-m)-2m-k|

k2+1

=

|2k-m(2+k)|

k2+1

 為定值，與m無關，
故 k=-2，故直線l的方程為 y-0=-2（x-1），即 2x+y-2=0，
故答案為 2x+y-2=0．

點評：本題主要考查圓的標準方程，直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題