Question

如圖，是函數f₁（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

，B∈R）在同一個周期內的圖象．
（Ⅰ）求函數f₁（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數y=f₁（x）的圖象按向量

a

=（

π

4

，-2）平移，得到函數y=f₂（x），求y=f₁（x）+f₂（x）的最大值，并求此時自變量x的集合．

Answer 1

分析：（1）欲求函數的解析式，關鍵是求出解析式中的四個變量A，B，ω，φ，這些量都可根據圖象得到，ω可由周期得到，A，B
可由最大最小值得到，等等；
（2）欲求函數的最大值，必先要求出此函數的解析式，再根據三角函數的性質解得．

解答：解：（I）由圖知：2A=3-（-1）=4，得A=2；
由A+B=3，得B=1；T=

11π

12

-(-

π

12

)=π，于是ω=

2π

T

=2
設f₁（x）=2sin（2x+?）+1
將函數f（x）=2sin2x+1的圖象向左平移

π

12

，得f₁（x）=2sin（2x+?）+1的圖象，
則?=2×

π

12

=

π

6

，
∴f1(x)=2sin(2x+

π

6

)+1（8分）
（II）依題意：f2(x)=2sin[2(x-

π

4

)+

π

6

]+1-2=-2cos(2x+

π

6

)-1
∴y=2sin(2x+

π

6

)-2cos(2x+

π

6

)=2

2

sin(2x-

π

12

)
當2x-

π

12

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

7π

24

，k∈Z時，ymnx=2

2

此時x的取值集合為{x|x=kπ+

7π

24

，k∈Z}（13分）

點評：本題考查了由三角函數的圖象求解析式的問題以及三角函數的圖象與性質，屬于中檔題．三角函數的單調性與最大最小值問題是函數的重要性質，合理使用函數的性質，正確理解它們的含義，是熟練利用這些基本性質解綜合問題的前提．