如圖,在斜三棱柱中,
是
的中點,
⊥平面
,
,
.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
(Ⅰ)答案詳見解析;(Ⅱ).
【解析】
試題分析:(Ⅰ)要證明直線和直線垂直,只需證明直線和平面垂直,將其中的一條直線置于與另一條直線垂直的平面內(nèi),本題易證面
,從而
,由已知得四邊形
是菱形,故
,從而可證
面
,進(jìn)而證明
;(Ⅱ)選三條兩兩垂直的直線為
軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,用坐標(biāo)表示相關(guān)點,求兩個半平面
和
的法向量,并求兩法向量夾角,通過觀察二面角是鈍角還是銳角決定余弦值的正負(fù).
試題解析:(Ⅰ)因為⊥平面
,所以
.又
,
所以平面
,所以
.
因為,所以四邊形
是菱形,所以
.
所以平面
,所以
. 5分
(Ⅱ)以為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
,
則,
,
,
.
,
,
設(shè)是面
的一個法向量,則
,
即,令
,取
.
同理面的一個法向量為
. 10分
因為.
所以二面角的余弦值
. 12分
考點:1、直線和平面垂直的判定和性質(zhì);2、二面角.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河南省頂級名校高三入學(xué)定位考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
己知函數(shù)是偶函數(shù),當(dāng)
時,函數(shù)
單調(diào)遞減,設(shè)
,則
的大小關(guān)系為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河南省開封市高三上學(xué)期定位模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
將邊長為2的等邊沿
軸正方向滾動,某時刻
與坐標(biāo)原點重合(如圖),設(shè)頂點
的軌跡方程是
,關(guān)于函數(shù)
的有下列說法:
①的值域為
;②
是周期函數(shù);③
;④
,
其中正確的個數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河南省開封市高三上學(xué)期定位模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù)滿足
對
恒成立,則( )
A.函數(shù)一定是偶函數(shù)
B.函數(shù)一定是偶函數(shù)
C.函數(shù)一定是奇函數(shù)
D.函數(shù)一定是奇函數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河南省開封市高三上學(xué)期定位模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知集合,
,則
( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河南省名校高三上學(xué)期期中理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
函數(shù)的圖象向左平移
個單位后關(guān)于原點對稱,則函數(shù)f(x)在
上的最小值為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河南省八校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知拋物線 ,過點P(0,2)作直線l,交拋曲線于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,
(Ⅰ)求證: 為定值;
(Ⅱ)求三角形AOB面積的最小值.
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