Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一點A（2，4）．

（1）設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標準方程；
（2）設平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點，且BC=OA,求直線l的方程；
（3）設點T（t,0）滿足：存在圓M上的兩點P和Q,使得 ,求實數t的取值范圍。

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵N在直線x=6上，∴設N（6，n），

∵圓N與x軸相切，∴圓N為：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，

又圓N與圓M外切，圓M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圓M：（（x﹣6）2+（x﹣7）2=25，

∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，

∴圓N的標準方程為（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．

（2）

解：由題意得 ， 設 ，則圓心 到直線 的距離 ,

則 ， ，即 ，

解得 或 ，即 ： 或

（3）

解： ，即 ，即 ， ，

又 ,即 ，解得 ，

對于任意 ，欲使 ，

此時 ，只需要作直線 的平行線，使圓心到直線的距離為 ，

必然與圓交于 兩點，此時 ，即 ，

因此對于任意 ，均滿足題意，

綜上

【解析】（1）設N（6，n），則圓N為：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2 ， n＞0，從而得到|7﹣n|=|n|+5，由此能求出圓N的標準方程．
（2）由題意得OA=2 ，kOA=2，設l：y=2x+b，則圓心M到直線l的距離：d= ，由此能求出直線l的方程．
（3） = ，即| |= ，又| |≤10，得t∈[2﹣2 ，2+2 ]，對于任意t∈[2﹣2 ，2+2 ]，欲使 ，只需要作直線TA的平行線，使圓心到直線的距離為 ，由此能求出實數t的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解圓的一般方程(圓的一般方程的特點：(1)①x2和y2的系數相同，不等于0．②沒有xy這樣的二次項；(2)圓的一般方程中有三個特定的系數D、E、F，因之只要求出這三個系數，圓的方程就確定了；(3)、與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯)．