Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象如圖所示，則

b+1

a+2

的取值范圍是（　　）

• A、（-

  3

  2

  ，

  1

  2

  ）
• B、（-

  2

  5

  ，

  1

  2

  ）
• C、（-

  1

  2

  ，

  3

  2

  ）
• D、（-

  3

  2

  ，

  5

  2

  ）

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：由圖象可知：經過原點，可得f（0）=0=d，即f（x）=ax³+bx²+cx．．由圖象可得：函數f（x）在[-1，1]上單調遞減，函數f（x）在x=-1處取得極大值．可得f′（x）≤0在[-1，1]上恒成立，且f′（-1）=0．利用且f′（1）＜0，f′（2）＞0即可得到b＜0，3a+2b＞0，設k=

b+1

a+2

，則k=

b-(-1)

a-(-2)

，求k的最值，進而得出結論．

解答：解：由圖象可知：經過原點，∴f（0）=0=d，
∴f（x）=ax³+bx²+cx．
由圖象可得：函數f（x）在[-1，1]上單調遞減，函數f（x）在x=-1處取得極大值．
∴f′（x）=3ax²+2bx+c≤0在[-1，1]上恒成立，且f′（-1）=0．
得到3a-2b+c=0，即c=2b-3a，
∵f′（1）=3a+2b+c＜0，
∴4b＜0，即b＜0，
∵f′（2）=12a+4b+c＞0，
∴3a+2b＞0，
設k=

b+1

a+2

，則k=

b-(-1)

a-(-2)

，
建立如圖所示的坐標系，則點A（-1，-2），
則k=

b+1

a+2

式中變量a、b滿足下列條件

3a+2b＞0 b＜0

，
作出可行域如圖：

∴k的最大值就是k_AB=

1

2

，k的最小值就是k_CD，而k_CD就是直線3a+2b=0的斜率，k_CD=-

3

2

，
∴-

3

2

＜k＜

1

2

．
∴故選A．

點評：本題綜合考查了利用導數研究函數的單調性極值、數形結合等基礎知識與基本方法．